Operator Logika

Gabungan lebih dari satu pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan operator logika dinamakan pernyataan majemuk. Terdapat lima operator logika yaitu konjungsi, disjungsi inklusif, disjungsi ekslusif, implikasi dan biimplikasi, yang berturut-turut dinotasikan dengan ∧, v, ∨,→,dan ↔. Berikut ini sejumlah pernyataan majemuk dalam matematika dan nilai kebenarannya.

Misalkan diketahui p dengan q yang masing-masing bernilai benar.

1.   p konjungsi q, dinotasikan dengan p∧q.
Pernyataan majemuk p∧q dibaca “p dan/tetapi/kemudian/meskipun/walaupun q. Pernyataan p∧q bernilai benar untuk masing-masing p dengan q yang bernilai benar, selain itu p∧q bernilai salah.  Contoh pernyataan p∧q adalah peraturan sekolah mengenai seragam siswa.
p: Seragam hari senin adalah atasan berwarna putih.
q: Seragam hari senin adalah bawahan berwarna putih.
p∧q: Seragam hari senin adalah atasan dan bawahan berwarna putih.
Berikut ini adalah tabel nilai kebenaran p∧q.
p    q    p ∧ q
B    B       B
B    S       S
S    B       S
S    S       S
Nilai kebenaran p∧q adalah BSSS.

2.    p disjungsi inklusif q, dinotasikan dengan p∨q.
Pernyataan majemuk p∨q dibaca p atau/dan atau q. Pernyataan p∨q  bernilai salah untuk masing-masing  p dengan q yang bernilai salah, selain itu p∨q bernilai benar. contoh pernyataan p∨q adalah pemesanan makanan.
p: Lyra memesan mi ayam.
q: Lyra memesan bakso.
p∨q: Lyra memesan bakso atau/dan atau mie ayam.
Berikut ini adalah tabel nilai kebenaran p∨q.
p    q    p v q
B    B       B
B    S       B
S    B       B
S    S       S
Nilai kebenaran p∨q adalah BBBS.

3.   p disjungsi ekslusif q, dinotasikan dengan p v q.
Pernyataan majemuk p v q dibaca p atau q. Pernyataan p v q bernilai benar untuk tepat salah satu peryataan bernilai benar, selain itu p v q bernilai salah. Contoh pernyataan p v q adalah pemakaian kendaraan.
p: Lutfan mengendarai motor menuju sekolah.
q: Lutfan mengedarai sepeda menuju sekolah.
p v q: Lutfan mengendarai motor atau sepeda menuju sekolah.
Berikut ini adalah tabel nilai kebenaran p v q.
p    q    p v q
B    B       S
B    S       B
S    B       B
S    S       S
Nilai kebenaran p v q adalah SBBS.

4.    p implikasi q dinotasikan dengan p→q.
Pernyataan majemuk p→qdibaca jika p maka q. Pernyataan p→q bernilai salah untuk p bernilai benar dengan q bernilai salah.  Selain itu p implikasi q bernilai benar. Contoh pernyataan p→q adalah tanggalan dengan hari libur.
p: Hari ini tanggalan berwarna merah.
q: Hari ini libur.
p→q: Jika hari ini tanggalan berwarna merah maka libur.
Berikut ini adalah tabel nilai kebenaran p→q.
p    q    p→q
B    B      B
B    S      S
S    B      B
S    S      B
Nilai kebenaran p→q adalah BSBB.

5.    p biimplikasi q, dinotasikan dengan p↔q.
Pernyataan majemuk p↔q dibaca p jika dan hanya jika q. Pernyataan p↔q bernilai benar untuk masing-masing p dengan q yang bernilai sama, selain itu p↔q bernilai salah.  Contoh pernyataan p↔q adalah mengenai berpuasa dengan larangan makan-minum.
p: Hari ini Novi berpuasa.
q: Hari ini Novi dilarang makan-minum.
p↔q: Hari ini Novi berpuasa jika dan hanya jika dilarang makan-minum.
Berikut ini adalah tabel nilai kebenaran p↔q.
p    q    p↔q

B    B    B
B    S    S
S    B    S
S    S    B
Nilai kebenaran p↔q adalah BSSB.

Transjakarta

Bus Transjakarta dan Busway adalah dua objek yang berbeda. Bus Transjakarta adalah alat transportasi massal yang disediakan oleh pemda DKI Jakarta. Bus ini memiliki jalur khusus yang diberi nama Busway. Namun sangat disayangkan bahwa pemda DKI Jakarta sendiri masih rancu dalam  menggunakan kata bus Transjakarta dan Busway. Sebagai contoh, penulisan “khusus busway” lebih tepat diganti dengan “khusus transjakarta“. Selain itu terdapat kalimat-kalimat himbauan yang salah. Kalimat-kalimat tersebut terletak dibelakang bus transjakarta. Berikut ini adalah tiga kalimat yang dimaksud, dimana letak kesalahannya, dan sekaligus saran kalimat perbaikannya dari saya

Kalimat 1:  Gunakan Busnya. Jangan ambil jalurnya.
Pada kalimat “Gunakan busnya” terdapat akhiran kata “nya”. Akhiran “nya” dalam bahasa Indonesia berfungsi sebagai kata ganti bentuk ketiga. Yang menjadi pertanyaan adalah akhiran kata “nya” pada kalimat tersebut merujuk bagian yang mana? Lebih tepat ditulis “Gunakan bus ini. Jangan ambil jalurnya!“

kalimat 2:  Take the bus. No it’s way.
Jika maksud pemda DKI menuliskan kalimat 1 di atas dalam bahasa Inggris, maka seharusnya ditulis “Take the bus but not its way!”

kalimat 3:  Awas !!! Anda jangan masuk jalur busway –> Berbahaya.
Dalam matematika symbol –> digunakan untuk menotasikan operator logika impilikasi. Operator logka digunakan untuk menggabungkan lebih dari satu pernyataan tunggal. Penggabungan dari lebih dari satu pernyataan tunggal dinamakan pernyataan majemuk. Kalimat 3 di atas adalah contoh pernyataan majemuk, dengan pernyataan tunggalnya berturut-turut adalah:

p: Awas !!! Anda jangan masuk jalur busway.

q: Berbahaya.

Penyataan majemuk “Awas !!! Anda jangan masuk jalur busway –> Berbahaya” dinotasikan dengan p –> q (dibaca jika p maka q). Kata “jangan” memiliki makna yang setara dengan “tidak boleh”. Berarti pernyataan p di atas dapat saya tulis sebagai berikut.

p: Awas !!! Anda tidak boleh masuk jalur busway.

Suatu pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang bertentangan dengan nilai kebenaran pernyataan p dinamakan ingkaran pernyataan p, dinotasikan dengan – p.  Ingkaran pernyataan p adalah sebagai berikut.

–p: Awas !!! Anda boleh masuk jalur busway.

Nilai kebenaran p –> q setara dengan –p v q (dibaca: ingkaran p atau q). Berarti pernyataan majemuk p –> q dapat diganti menjadi  –p v q.

Jadi penyataan majemuk “Awas !!! Anda jangan masuk jalur busway –> Berbahaya” memiliki maksud yang sama dengan “Awas!!! Anda boleh masuk jalur busway atau berbahaya”. Sehingga tidak salah kalau masih saja ada kendaraan lain selain bus Transjakarta yang menggunakan busway.

Untuk itu, sebaiknya pernyataan majemuk “Awas !!! Anda jangan masuk jalur busway –> Berbahaya” diganti menjadi pernyataan tunggal:

1. “Busway hanya untuk Transjakarta” atau

2. “Dilarang memasuki Busway kecuali Transjakarta”.

The Shape of Quadratic Function

All the graph of quadratic function  y = ax^2 + bx + c have the same general shape, which is called a parabola. These parabola have a vertical axis of symetry. The point where a parabola meets its axis of simetry is called the vertex.

If  the value of a is positive then the vertex is at the lowest point (minimum value) of the graph.  If  the value of a is negative then the vertex is at the highest point (maximum value) of the graph. 

The larger size of  |a| the more the graph of quadratic function y = ax^2 + bx + c is elongated, that is, lengthened in the y -  direction.

Changing  the value of  b moves the axis of symetry of the graph of quadratic function y = ax^2 + bx + c in the  x - direction.

If  a and  b have the same sign then the axis of symetry is to the left of   y -  axis. If  a and  b have opposite signs then the axis of symetry is to the right of    the y - axis.Changing  the value of c moves the graph of quadratic function y = ax^2 + bx + c  up and down in the y - direction.

Selamat Hari Guru

Pada suatu masa. Setelah hampir selama sepuluh tahun tidak lagi menjadi murid. Datanglah masa dimana saya diberikan kesempatan menjadi murid (mahasiswa) di salah satu perguruan tinggi negeri terkemuka di Indonesia.

Selama mendapat kesempatan belajar itulah, saya merasakan bahwa semakin banyak belajar matematika maka semakin saya menyadari bahwa hanya sedikit yang saya ketahui tentang matematika. Latar belakang pendidikan saya sebelumnya tidaklah cukup untuk menjembatani materi-materi kuliah saya sekarang.

Saya hanyalah seorang murid yang biasa-biasa saja. Sampai saat tesis menjelang. Saya masih saja kebingungan mencari topik penelitian saya. Alhamdulillah. Salah satu dosen bersedia membimbing saya. Ketika beliau memberikan topik penelitian, beliau mengatakan bahwa saya dapat menyelesaikan penelitian ini dalam satu semester. Sebenarnya saya pusing juga waktu baca jurnal dari beliau. Pusing karena tidak mengerti apa yang jurnal tersebut bicarakan. Namun karena beliau telah mengatakan bahwa saya dapat menyelesaikannya dalam satu semester maka hal tersebut menjadi penyemangat buat saya. Sebagai murid, saya sangat termotivasi untuk menyelesaikan penelitian ini. Walau sebelumnya saya merasa bahwa saya hanyalah seorang murid yang biasa-biasa saja.

Selama dalam proses bimbingan saya mendapat sebanyak tiga kali ucapan “Good Luck” dari beliau.

Good luck pertama, pada saat saya berdisikusi dengan beliau mengenai kendala saya, bahwa saya belum menemukan algoritma yang tepat untuk proses dekripsi. Beliau mempercayakan kepada saya mengenai algoritma dan aplikasinya dalam bahasa pemrograman Matlab. Dekripsi adalah suatu proses untuk mengembalikan pesan ter-enkripsi agar kembali menjadi pesan yang dapat dimengerti maknanya oleh penerima pesan. Ini adalah masalah terbesar saya dalam penelitian tesis.

Good luck kedua, pada saat menjelang seminar kemajuan penelitian tesis.

Good luck ketiga pada saat menjelang sidang magister dan kolokium. Pada saat itu saya mengatakan kepada beliau bahwa saya sangat khawatir jika ditanya mengenai hal-hal yang luput dari perhatian saya.

“Selamat Hari Guru”. Terima kasih untuk para guru atas segala motivasi yang telah diberikan.

Mensketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Berikut ini adalah hal-hal yang harus diperhatikan dalam mensketsa grafik fungsi kuadrat.

1. Beri nama masing-masing sumbu pada sistem koordinat Cartesius (lihat Gambar 1).

2. Skala pada masing-masing sumbu pada koordinat Cartesius boleh tidak sama, namun harus konsisten. Sebagai contoh pada sumbu x, jika panjang ruas garis yang menghubungkan titik 0 dan titik 1 adalah 0.5 cm maka panjang ruas garis yang menghubungkan titik 1 dan titik 2 adalah 0.5 cm, begitu seterusnya (lihat Gambar 2).

3. Hubungkan titik-titik yang terletak pada grafik fungsi kuadrat tanpa menggunakan penggaris (lihat Gambar 3a).

4. Beri nama pada setiap grafik. Jika dalam satu sistem koordinat Cartesius memuat lebih dari satu grafik maka beri warna berbeda untuk masing-masing grafik tersebut (lihat Gambar 4).

Sampai Gladi Bersih Saja

Pada suatu masa ditahun 1994, setelah saya menamatkan pendidikan SMA. Pernah saya berkeinginan menempuh kuliah di jurusan matematika pada salah satu perguruan tinggi negeri terkemuka di Indonesia. Namun karena saya melihat data tahun lalu bahwa begitu banyak yang mendaftar ke sana, saya mengurungkan niat saya tersebut. Saya memilih salah satu perguruan tinggi di Jawa Timur. Pertama sempat kaget juga dengan suasana di sana. Karena sudah menjadi pilihan saya, maka the show must go on. Saya lulus juga menempuh program sarjana pendidikan matematika dari perguruan tinggi ini.

Saya tetap menyimpan keinginan bahwa suatu saat nanti saya akan menempuh kuliah di jurusan matematika pada perguruan tinggi terkemuka tadi. Alhamdulillah, lima belas tahun kemudian keinginan saya tersebut terwujud. saya berkesempatan menempuh pendidikan magister matematika di sana pada tahun 2009. Salah satu tujuan saya menempuh pendidikan magister matematika adalah agar saya dapat menyampaikan materi mata pelajaran matematika secara lebih sederhana. Seperti kata Einstein “If you can’t explain something simply then you don’t understand it well enough.” Tulisan itu ada hampir disetiap ruang kuliah saya. Alhamdulillah, tanggal 26 Juni 2011, saya dinyatakan lulus dan berhak mendapatkan gelar akademik Magister Sains.

Karena kangen dengan suasana upacara wisuda, maka saya mendaftarkan diri mengikuti upacara wisuda. Kegiatan wisuda yang diadakan oleh universitas ada dua. Pertama gladi bersih, dilaksanakan hari Rabu 15 September 2011 pukul 14.00 WIB sampai dengan selesai. Agenda gladi bersih ini diantaranya adalah pemberian ucapan selamat dari rektor disertai dengan foto bersamanya. Agenda kedua pada hari Sabtu 17 September 2011 pukul 09.00-11.00 WIB.

Ndilalah pada hari-hari tersebut saya mendapat tugas mengikuti Pendidikan dan Pelatihan Profesi Guru (PLPG). Khusus pada Rabu, 15 September 2011 juga ada kegiatan dinas pengarahan Pra Jabatan mulai pukul 08.00 WIB sampai dengan selesai. Jadi hari rabu tersebut saya memiliki tiga kegiatan yang berbeda. Ketika saya mengemukakan permasalahan saya tersebut kepada penanggung jawab PLPG, beliau mengatakan saya diperbolehkan memilih satu hari saja untuk ijin. Saya memilih ijin pada hari Rabu, 15 September. Upacara wisuda saya hanya sampai gladi bersih saja :’(

Usia 30an Tahun dan Usia Menjelang 40 Tahun

Semalam, saya menemani anak-anak saya menonton film animasi Shaun The Sheep. Walaupun dapat dikategorikan sebagai film anak-anak, ternyata pada sesi iklan terdapat sejumlah iklan yang ditujukan untuk kaum perempuan dewasa. Iklan-iklan yang dimaksud adalah iklan shampo dan iklan perawatan kulit wajah.

Saya sendiri insyaAllah bukan termasuk golongan perempuan-perempuan korban iklan. Namun gemar memperhatikan keganjilan-keganjilan dalam sebuah iklan. Sebagai contoh ada satu iklan tentang produk perawatan kulit wajah anti kerutan.

Dalam sebuah iklan perawatan kulit. Iklan tersebut diawali dengan adegan seorang wanita muda yang mendapati kerutan di sekitar matanya. Wanita ini dikisahkan berusia 30 tahun. Wanita tersebut menyampaikan keluhan tentang kerutan dimatanya itu pada salah seorang pesohor yang berinisial  CM. Pesohor tersebut menunjukkan dua buah foto pesohor lain yang berinisial RT. Pesohor CM mempersilakan wanita muda itu memperhatikan kedua foto pesohor RT. Sembari pesohor CM mengatakan pada wanita tersebut bahwa wajah pesohor RT tidak ada perubahan.

Tanyangan berikutnya diperlihatkan dua buah foto pesohor RT. Foto disebelah kiri berketerangan usia 30 tahunan dan foto disebelah kanan berkerangan usia menjelang 40 tahun. Kedua foto tersebut memang tidak terlihat berbeda. Seolah-olah pesohor RT tidak mengalami pengerutan disekitar matanya.

Melihat kedua foto tersebut beserta keterangannya membuat saya ingin tertawa geli. Foto-fotonya sih tidak ada yang salah. Pun dengan keterangan mengenai kapan foto tersebut dibuat. Namun jika dicermati lebih lanjut keterangan-keterangan mengenai foto tersebut saya dapat menjelaskan bahwa foto-tersebut bisa jadi dibuat pada saat usia yang sama.

Secara matematika, dalam satuan tahun, keterangan usia 30 tahunan dapat ditafsirkan bahwa usia yang dimaksud adalah 31, 32, 33, …, 39. Sedangkan usia menjelang 40 tahun, saya dapat memilih usia 37, 38, dan 39, yang mana hal ini dapat dikategorikan sebagai usia 30 tahunan juga.Jika pesohor RT difoto pada usia 39 maka tentu saja usia ini dapat dikategorikan usia 30 tahunan dan usia menjelang 40 tahun. Tentu saja pasti kedua foto tersebut tidak akan terlihat bedanya.

Menyodok

Seteleh beberapa kali terombang-ambing oleh informasi yang cukup menguji kesabaran. Informasi pertama pertanggal 19 Agustus 2011 menyebutkan bahwa libur lebaran sampai dengan tgl 7 Sept 2011, artinya masuk kembali tgl 8 sept 2011. Informasi kedua pertanggal 1 Sept 2011 menyebutkan bahwa untuk PNS pemda DKI masuk kembali tgl 5 Sept 2011. Informasi ketiga pertanggal 5 Sept 2011 menyebutkan bahwa khusus guru PNS pemda DKI masuK kembali tgl 7 Sept 2011.

Hari ini tgl 7 Sept 2011 kembali masuk kerja. Karena belum efektif mengajar, jadi berangkat dari rumah jam 7. Keluar komplek perumahan jalanan mulai sedikit tersendat. Kemudian menuju tol Jagorawi. Setelah ditambah menjadi empat jalur, alhamdulillah mulai lancar. Sebab seingat saya waktu masih terdapat tiga jalur, jika melewati tol jagorawi pada jam-jam seperti ini biasanya tersendat. Cibubur-UKI memakan waktu 1 jam.

Ketika kendaraan saya memasuki tol dalam kota perjalanan mulai tersendat. Terdapat sejumlah mobil pribadi yang sedang menyodok. Menyodok adalah istilah dar suami saya untuk perilaku berlalu-lintas dimana seorang pengemudi tidak sabar untuk antri sesuai jalurnya, melalui jalur yang tidak seharusnya terlebih dahulu, kemudian setelah mendekati pintu keluar jalur yang diingini, ybs berusaha memotong jalur antrian yang seharusnya.

Menyodok adalah salah satu perilaku yang tidak terpuji dalam berlalu-lintas.

Sebagai contoh: ketika kendaraan sudah keluar dari tol Jagorawi, setelah itu terdapat dua tujuan perjalanan kendaraan. Pertama adalah jalur kendaraan yang bermaksud keluar di UKI. Kedua adalah jalur kendaraan yang bermaksud memasuki tol dalam kota. Sejumlah pengemudi mengambil jalur masuk tol dalam kota, namun ketika mendekati pemisah jalur keluar UKI ybs memotong antrian keluar UKI. Jadi sebenarnya ybs berkeinginan keluar di UKI, namun tidak bersabar mengantri sesuai jalurnya.

Menumpang Mobil Ambulan

Ini pertama kali saya menumpang mobil ambulan.

Alhamdulillah hanya sebagai pengantar. Pasien adalah adik ibu saya. Seorang perempuan berusia 58 tahun. Hidup sendiri. Belakangan diketahui menderita diabetes. Rabu 17 Agustus 2011 ditemukan oleh pihak kerabat dalam keadaan tak sadarkan diri (pingsan).  Pasien dibawa ke rumah sakit terdekat. Oleh pihak rumah sakit dirawat diruang Intensive Care Unit (ICU). Kadar gula sangat rendah yaitu 40. Hal ini mempengaruhi kerja otak. Akhirnya terserang stroke. Tingkat kesadaran mendekati comma yaitu 5. Dengan biaya perhari yang mencapai lebih dari 8 juta rupiah, maka pada hari Sabtu 20 Agustus 2011 diputuskan dibawa pulang saja.

Ternyata dirumah masalahnya tidak menjadi lebih sederhana. Karena ybs kan harus makan. Sedangkan selama empat hari terakhir makanan masuk ketubuh melalui imfus. Melalui informasi dari tetangga maka dibawalah pasien ke RSUD Depok. Dari rumahnya di Villa Pertiwi menuju RSUD Depok yang belokasi di Sawangan. Jarak perjalanan relatif jauh dan pasti macet.

Saya duduk disamping pak supir. Kendaraan melaju cukup cepat. Jika terjebak macet, maka tak segan-segan pak supir mengambil jalur kendaraan yang berlawanan. Saya menyaksikan kendaraan-kendaraan  melaju ke arah mobil kami. Bagi saya hal ini cukup menegangkan. Seperti orang yang sedang beradu nyali dengan maut. Sepanjang perjalanan pak supir mengaji. Surat Al Ikhlash. Bacaanya lambat-lambat.  Suasana terasa lebih mencekam.

Tentu saja. Seandainya manusia diberikan kemampuan melihat, maka bisa jadi malaikat maut sedang berada dimobil kami. Entah siapa yang sedang dijemputnya. Mingkin si pasien, si pak sopir, saya, atau penumpang lain yang sedang berada didalam mobil tersebut. Mengingat mobil ambulan melaju dengan kencang dan berulangkali mengambil jalur berlawanan.

Sesampai di RSUD Depok, menurut dokter jaga bahwa di RS tersebut tidak ada ruang ICU dan dokter jantung. Dokter tersebut menyarankan pasien dibawa ke RSUP Fatmawati. Masih dengan ambulan yang sama, kami menuju RSUP Fatmawati. Perjalanan dari Sawangan di Depok menuju Fatmawati di Jakarta Selatan juga suatu perjalanan yang cukup jauh. Sepanjang perjalanan kali ini pak supir membaca surat Al Fatihah. Dibacanya surat tersebut secara pelan dan lambat.

Sekali lagi. Dalam hati saya bertanya-tanya apakah didalam ini ikut juga malaikat maut. Jika beliau ada, maka siapakah yang akan dijemputnya.

Alhamdulillah, kami sampai ke RSUP Fatmawati dengan selamat.

Tidak

Dalam kamus besar bahasa Indonesia, setiap kata dilengkapi dengan label kelas kata. Beberapa contoh label kelas kata adalah adv (adverbia), a (adjektiva), dan v (verba). Adverbia (kata keterangan), berasal dari bahasa latin ad (untuk) dan verbum (kata). Masih menurut kamus tersebut, kata “tidak” memiliki label kelas kata adv. Kata “tidak” didefinisikan sebagai partikel untuk menyatakan pengingkaran, penolakan, penyangkalan, dsb.

Dalam kehidupan sehari-hari sering kali saya mendengar ataupun membaca seseorang mengungkapkan perasaaannya dengan menggunakan kata “tidak”. Dalam berbahasa Indonesia, biasanya jika seseorang mengungkapkan perasaannya dengan menggunakan kata “tidak” maka penafsirannya adalah lawan kata tersebut. Sebagai contoh penafsiran kata “tidak hitam” adalah kata “putih”.

Dalam matematika juga sering terdapat pernyataan-pernyataan berupa ingkaran yang menggunakan kata “tidak”. Namun jika seseorang mengungkapkan perasaannya dengan menggunakan kata “tidak” maka terdapat sejumlah penafsiran dari kata tersebut. Sebagai contoh, jika seseorang mengatakan kata “tidak hitam” maka tidak dapat ditafsirkan bahwa yang dimaksud olehnya adalah kata “putih“.  Contoh lain adalah pernyataan “Kenyataan tidak seindah harapan“.  Terdapat dua penafsiran terhadap pernyataan tersebut. Penafsiran pertama adalah kenyataan berada di bawah harapan. Artinya bahwa kenyataan lebih buruk jika dibandingkan dengan harapan. Penafsiran kedua adalah kenyataan berada di atas harapan. Artinya bahwa kenyataan lebih baik jika dibandingkan dengan harapan.