Polinomial Chebyshev

Polinomial Chebyshev merupakan salah satu fungsi yang diusulkan untuk menggantikan monomial x^n baik dalam pembangkitan kunci, enkripsi dan dekripsi pada algoritma El Gamal maupun RSA. Dasar pemilihannya adalah polinomial tersebut memiliki sifat-sifat yang sama seperti yang berlaku pada monomial x^n. Selain itu pada poliniomial Chebyshev berleku relasi rekursif.

Berikut ini adalah pembahasan mengenai sifat tertutup dibawah operasi komposisi fungsi pada polinomial-polinomial Chebyshev jenis pertama.

Definisi 1. Polinomial Chebyshev Tn(x) jenis pertama adalah suatu polinomial dalam variabel x dan berderajat n, yang memenuhi

Tn(x) = cos (n arccos x)

dengan  n=0,1,2,3,… dan x berada di [- 1, 1].

Misalkan a = arccos x dengan a berada di [0, pi],  maka Tn(x) = cos na (Mason & Handscomb, 2003).

Definisi 2. Suatu himpunan C yang tidak kosong bersama operasi biner * disebut semigrup jika berlaku

(a * b) * c = a * (b * c)

untuk setiap a, b, c elemen-elemen C (Hungerford, 2003).

Teorema. Pada suatu himpunan yang elemen-elemennya adalah polinomial-polinomial Chebyshev berlaku sifat semigrup di bawah operasi komposisi fungsi yaitu

Tm(Tn(x)) = Tmn(x)

dengan Tm(x) dan Tn(x) masing-masing merupakan polinomial Chebyshev.

Bukti:

Misalkan C adalah suatu himpunan yang elemen-elemennya adalah polinomial-polinomial Chebyshev.

Berdasarkan definisi polinomial Chebyshev jelas bahwa  C tidak kosong.

Ambil sebarang Tm(x), Tn(x) elemen C.

Akan ditunjukkan bahwa

Tm(Tn(x)) = Tmn(x).

Karena Tn(x) elemen C berarti Tn(x) = cos (n arccos (x)).

Karena Tm(x) elemen C berarti

Tm(Tn(x))

= cos (m arccos (Tn(x))

= cos (m arccos (cos (n arccos (x)))

= cos (mn arccos (x))

= Tmn (x).

Untuk x > 1 pembuktian Tm(Tn(x)) = Tmn(x) menggunakan formula Tn(x) = cosh (n arccosh x).         ■

Referensi:

Hungerford, T. W. (2003). Graduate Text in Mathematics: Algebra. Springer.

Mason, J. C & Handscomb, D.C. (2003). Chebyshev Polynomials. Chapman & Hall/CRC.

About these ads

6 thoughts on “Polinomial Chebyshev

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s