Pembuktian dalam Matematika

Pembuktian suatu pernyataan bernilai benar dalam matematika dapat dilakukan secara langsung dan tidak langsung. Pembuktian secara langsung pernyataan p → q dimulai dari pernyataan p kemudian dibuktikan bahwa pernyataan q berlaku.

Suatu pernyataan p dan ingkarannya memiliki nilai kebenaran yang bertentangan. Dalam sebagian kasus pembuktian bahwa pernyataan p bernilai benar dilakukan dengan pembuktian tidak langsung, yaitu mengandaikan bahwa ~p bernilai benar. Hal ini dikenal sebagai pembuktian melalui kontradiksi.

Pernyataan p → q dan kontraposisinya memiliki nilai kebenaran yang sama. Kontraposisi dari implikasi p → q adalah ~q → ~p. Hal ini berarti bahwa pembuktian implikasi p → q bernilai benar dapat dilakukan dengan cara membuktikan bahwa ~q → ~p bernilai benar.

Berikut ini adalah contoh pembuktian.

Sudut

Kompetensi – kompetensi dasar matematika wajib di kelas X SMA mengenai sudut:

3.13 Mendeskripsikan konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya.

4.13 Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik, garis dan bidang.

Yang dibahas mengenai sudut adalah:

  1. sudut dua garis berpotongan;
  2. sudut garis menembus bidang; dan
  3. sudut dua bidang berpotongan;

Ketiganya direpresentasikan pada gambar di bawah ini.

Drawing1

Dengan:

  1. (α, β) merupakan garis potong bidang α dan bidang β;
  2. garis g pada bidang α dan garis g tegak lurus (α, β); dan
  3. garis h pada bidang β dan garis h tegak lurus (α, β)

Ukuran sudut γ mewakili:

  1. sudut antara garis g dan garis h;
  2. sudut antara garis g dan bidang β;
  3. sudut antara garis h dan bidang α; dan
  4. sudut antara bidang α dan bidang β.

Perkalian dengan 0 (Nol)

Pada suatu ketika seorang teman mengirim hal berikut:

(1) √8 = √8

(2) 2√2 = √8

(3) 2√2 × 2√2 = √8 × 2√2

(4) (2√2 × 2√2) – (√8 × √8)= (√8 × 2√2) – (√8 × √8)

(5) (2√2)² – (√8)² = √8 × (2√2 – √8)

(6) (2√2 + √8) × (2√2 – √8) = √8 × (2√2 – √8)

(7) 2√8 = √8 (kok? ini jelas salah)

Kemudian menanyakan dimana letak kesalahannya sehingga (7) terjadi?

Kesalahan pada (6)

Pada (6) terdapat operasi perkalian pada himpunan bilangan real. Element identitas pada operasi ini adalah 1. Misalkan a adalah anggota himpunan bilangan real, a ≠ 0, maka terdapat a’ yang disebut invers dari a sedemikian sehingga berlaku a × a’ = a’ × a = 1.

Perhatikan pada (6) bahwa (2√2 – √8) = 0 tidak memiliki invers pada operasi perkalian, sehingga (2√2 – √8) tidak dibenarkan.

Sedekah

Sabtu pekan lalu ada pengajian di masjid komplek perumahan saya. Pengajian ini disampaikan oleh seorang ustadzah ternama. Tema pengajian saat itu adalah sedekah. Yang dibahas mengenai sedekah adalah definisi Sedekah, tingkatan sedekah, dan syarat agar amalan sedekah tersebut diterima Allah SWT.

Sedekah didefinisikan sebagai pemberian dari seseorang yang hanya mengharap ridho Allah SWT. Adapun tingkatan sedekah terbagi dua yaitu sedekah wajib dan sedekah sunah. Sedekah wajib ada 5 yaitu zakat, sedekah karena perkawinan, sedekah karena keturunan, kifarat, dan nazar. Sementara sedekah sunah ada 3 yaitu sedekah, infak dan wakaf. Ada 5 syarat agar amalan sedekah diterima Allah SWT, yaitu disembunyikan, tidak diungkit, memberikan hal yang disukai, banyak senyum, dan diberikan kepada yang berhak.

Demikian, semoga bermanfaat.

Parabola dan Elips

Materi parabola dan elips diujikan pada ujian sekolah SMA Matematika Peminatan IPA. Adapun nomor soal dan indikator soal yang dimaksud adalah:

13. Siswa dapat menentukan persamaan parabola jika disajikan titik puncak dan fokusnya; dan

14. Disajikan persamaan umum elips yang berpusat dititik (a, b), siswa dapat menentukan koodinat titik fokusnya.

Berikut ini adalah rangkuman materi Parabola dan Elips

Integral

Pekan lalu, pada sebuah pertemuan Musyawarah Guru Mata Pelajaran Matematika. Saat itu dibahaslah hal – hal yang diperkirakan akan diujikan pada Ujian Nasional, salah satu diantaranya adalah materi Integral. Contoh yang diberikan dapat diselesaikan baik dengan menggunakan integral parsial ataupun integral substitusi. Berikut ini contoh soal integral1 yang dimaksud.