Jarak Titik ke Garis

Berikut ini Kompetensi Dasar matematika wajib SMA/MA/SMK/MAK kelas XII Kurikulum 2013 Revisi.
3.1 Mendeskripsikan jarak dalam ruang (jarak antar titik, titik ke garis, dan titik ke bidang).
4.1 Menentukan jarak dalam ruang (jarak antar titik, titik ke garis, dan titik ke bidang).

Permasalahan jarak titik ke garis disederhanakan menjadi jarak dua titik. Karena itu pembahasan jarak titik ke garis di awali dengan mendefinisikan jarak dua titik. Didefinisikan bahwa jarak dua titik adalah ukuran ruas garis terpendek yang menghubungkan dua titik.

Contoh 1:
Perhatikan gambar 1! Jarak titik A dan titik B adalah ukuran ruas garis AB.

Contoh 2:
Perhatikan gambar 2! Jarak titik A terhadap garis BC adalah ruas garis AC (mengapa bukan ruas garis AB?), sementara jarak titik C terhadap garis AB adalah ruas garis CD.

Contoh 3:
Perhatikan gambar 3! Jarak titik A terhadap garis BC adalah ruas garis AD.

Drawing1

Dengan demikian permasalahan jarak titik ke garis melibatkan Δ yang dibentuk oleh titik dan garis, kemudian melibatkan juga dua garis ⊥ pada Δ tersebut. Sementara dua garis ⊥ pada Δ merupakan syarat ketentuan untuk alas dan tinggi.

Jadi menentukan jarak titik ke garis sama dengan menentukan tinggi suatu Δ yang ditarik dari titik, Δ yang dimaksud dibentuk oleh titik dan garis.

Mengapa pembagian dengan nol tidak didefinisikan

Operasi perkalian pada bilangan real memiliki elemen identitas yaitu 1 (satu) dan didefinisikan bahwa untuk setiap bilangan real a, a ≠ 0 (nol) terdapat invers dari a yaitu bilangan real a’ yang tunggal, dan berlaku a x a’ = a’ x a = 1.

Perhatikan bahwa syarat a’ adalah ada dan tunggal (mengapa?)

Mengapa harus a ≠ 0?

Andai a = 0 dan memiliki invers yaitu a’ maka terdapat dua kasus berikut.

kasus 1 : a’ = 0
Berdasarkan definisi berarti a x a’ = a’ x a = 0 x 0 = 1 padahal 0 x 0 = 0.

kasus 2: a’ ≠ 0a’ ≠ 0 adalah invers dari 0 (nol), padahal disisi lain a’ ini juga merupakan invers dari a yang tidak 0. Berarti syarat ketunggalan dari a’ tidak terpenuhi. Atau dapat juga: karena a’ adalah invers dari 0 berarti 0 x a’ = a’ x 0 = 1 padahal 0 x a’ = a’ x 0 = 0.

 

Cara Menarik Akar Pangkat Tiga dari Suatu Bilangan Bulat

Tabel 1 dan Tabel 2 digunakan sebagai acuan menarik akar pangkat tiga dari suatu bilangan bulat pada pelajaran matematika SD.

Tabel 1 : Pangkat Tiga dari Bilangan Satuan

No. Pekalian Hasil Angka Satuan pada Hasil
1 1 x 1 x 1 1 1
2 2 x 2 x 2 8 8
3 3 x 3 x 3 27 7
4 4 x 4 x 4 64 4
5 5 x 5 x 5 125 5
6 6 x 6 x 6 216 6
7 7 x 7 x 7 343 3
8 8 x 8 x 8 512 2
9 9 x 9 x 9 729 9
10 0 x 0 x 0 0 0

Pada tabel 1 di atas perhatikan bahwa perkalian bilangan yang sama sebanyak tiga faktor (bilangan berpangkat tiga) dari bilangan satuan memiliki keunikan angka satuan pada hasil.

 Tabel 2 : Pangkat Tiga dari Bilangan Puluhan

No. Perkalian Hasil
1 10 x 10 x 10 1 000
2 20 x 20 x 20 8 000
3 30 x 30 x 30 27 000
4 40 x 40 x 40 64 000
5 50 x 50 x 50 125 000
6 60 x 60 x 60 216 000
7 70 x 70 x 70 343 000
8 80 x 80 x 80 512 000
9 90 x 90 x 90

729 000

Untuk sejumlah contoh silakan klik CARA MENARIK AKAR PANGKAT TIGA DARI SUATU BILANGAN BULAT.

UN SD 2010 – 2011

Pekan lalu saya menemani anak saya latihan UN, kali ini anak saya menyelesaikan soal UN Matematika 2010 – 2011. Soal yang diujikan diantaranya:

“Uang Ani 3/5 uang Indri, sedang uang Indri 3/4 uang Mira. Jika selisih uang Ani dan uang Mira adalah Rp. 66.000,00 maka jumlah uang Ani dan Indri adalah….

A. Rp. 39.600,00

B. Rp. 49.500,00

C. Rp. 124.000,00

D. Rp. 144.000,00″

Komentar saya tentang soal di atas adalah terlalu tinggi tingkat kesulitannya jika diujikan untuk siswa SD.  Saya ingin tahu bagaimana penulis soal tersebut menjelaskan penyelesaian soal di atas agar dipahami oleh  siswa – siswa SD.

Berikut ini penyelesaian dari saya (yang bukan guru SD).

Misal uang Mira  = a,

uang Indri = 3/4 uang Mira = 3a/4,

uang Ani = 3/5 uang Indri = (3/5) (3a/4) = 9a/20.

Selisih uang Ani dan uang Mira = Rp. 66.000,00.

Perhatikan bahwa uang Mira, Indri, dan Ani berturut – turut adalah a, 3a/4, dan 9a/20. Jika disamakan penyebutnya maka uang Mira, Indri, dan Ani berturut – turut adalah 20a/20, 15a/20, dan 9a/20. Hal ini berarti uang Mira >  uang Ani.

Dengan demikian, selisih uang Ani dan uang Mira = 20a/20 – 9a/20 = 11a/20 = Rp. 66.000,00.

Uang Mira = a  = (20/11) × 66.000 = Rp. 120.000,00.

Jumlah uang Ani dan uang Indri

= (9a/20) + (15a/20)

= 24a/20

= 6a/5

= 6 × 120.000 ÷ 5

= Rp. 144.000,00.

Penggunaan Turunan

Mata pelajaran matematika wajib SMA/MA/SMK/MAK materi Turunan pada Kurikulum Nasional diajarkan di kelas XI. Berikut ini adalah Kompetensi Dasar (KD) materi Turunan.

KD 3.9 : Menganalisis keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva.

KD 4.9 : Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan dengan masalah kontekstual.

Guru dapat menghubungkan materi turunan dengan materi kelas X yaitu fungsi kuadrat.

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, a ≠0 memiliki grafik berbentuk parabola. jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas, sementara jika a<0 maka parabola terbuka ke bawah. Jika parabola terbuka ke atas maka permasalahan yang muncul adalah nilai minimum, sedangkan jika parabola terbuka ke bawah maka permasalah yang muncul adalah nilai maksimum.

f(x) = ax² + bx + c, a ≠0 mencapai maksimum / minimum pada saat f'(x) = 0

f'(x) = 2ax + b = 0 → x = -b/(2a)

x = -b/(2a) merupakan persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat, nilai maksimum / minimum fungsi adalah f(-b/(2a)), dan koordinat maksimum / minimum (-b/(2a), f(-b/(2a)).

 

 

 

Peluang (2)

Jika sebuah dadu diundi sebanyak 5 kali. Tentukan peluang muncul mata dadu 3 atau mata dadu 5 sebanyak 4 kali!

Penyelesaian:

Ruang sampel pengundian sebuah dadu sebanyak satu kali adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hal ini berarti bahwa pada pengundian tersebut, kejadian muncul mata dadu 3 atau 5 adalah {3, 5} sementara kejadian tidak muncul mata dadu 3 atau 5 adalah {1, 2, 4, 6}

Misal sukses (S) adalah kejadian muncul mata dadu 3 atau 5 pada satu kali pengundian (U) sebuah dadu. Peluang sukses adalah 2/6 = 1/3. Gagal (G) adalah kejadian tidak muncul mata dadu 3 atau 5 pada satu kali pengundian sebuah dadu. Peluang gagal adalah 1 – 1/3 = 2/3.

Berikut ini kemungkinan pada 5 kali pengundian dadu yang dimaksud:

Misal pada kasus 1 pengundian 1 sukses, pengundian 2 sukses, pengundian 3 sukses, pengundian 4 sukses, dan pengundian 5 gagal, ditulis

Kasus 1 : U1 : S, U2: S, U3: S, U4 : S, dan U5 : G.

Dengan demikian untuk kasus  – kasus berikutnya dapat ditulis

Kasus 2 : U1 : S, U2: S, U3: S, U4 : G, dan U5 : S.

Kasus 3 : U1 : S, U2: S, U3: G, U4 : S, dan U5 : S.

Kasus 4 : U1 : S, U2: G, U3: S, U4 : S, dan U5 : S.

Kasus 5 : U1 : G, U2: S, U3: S, U4 : S, dan U5 : S.

Kelima kasus di atas dinyatakan dalam kombinasi 4 dari 5 ditulis 4C5 = 5.

Peluang muncul mata dadu 3 atau mata dadu 5 sebanyak 4 kali dari pengundian sebuah dadu sebanya 5 kali adalah 4C5 x (1/3)^4 x (2/3)^1 = 5 x (1/81) x (2/3) = 10/243.

Dejavu

Alhamdulillah selama liburan akhir tahun kemarin dari hari sabtu 24 Desember 2016 sampai dengan hari Selasa 3 Januari 2017 saya dan suami saya berkesempatan menunaikan ibadah umroh. Kami menetap di Madinah hingga hari Kamis 29 Desember 2016, setelah itu kami menetap di Makkah hingga hari Selasa 3 Januari 2017.

Yang menarik dari perjalanan saya kali ini adalah ada dua kejadian yang saya merasa pernah mengalaminya yang dikenal dengan istilah dejavu. Kejadian pertama adalah ketika saya dan rombongan bermaksud memulai umroh. Saya dan rombongan berfoto bersama di masjid Bir Ali Madinah untuk kemudian melanjutkan perjalanan ke Masjidil Haram Makkah. Kejadian kedua adalah ketika saya sujud pada saat sholat sunnah selesai thowaf dipelataran Ka’bah. Ternyata Allah SWT telah mengabarkan berita baik ini kepada saya beberapa waktu sebelumnya melalui mimpi.