Ruang Vektor

Definisi Misalkan F adalah lapangan, yang elemen-elemennya dinyatakan sebagai  skalar. Ruang vektor atas F adalah himpunan tak kosong V, yang elemen-elemennya merupakan vektor, bersama dengan dua operasi. Operasi pertama disebut penjumlahan dan dinotasikan dengan +, yang dimaksud dengan setiap pasangan (u, v) di V adalah vektor  u + v di V. Operasi kedua disebut perkalian dengan skalar dan dinotasikan dengan  penjajaran, yang dimaksud dengan setiap pasangan (r, u) di F x V adalah vektor ru di V. Lebih lanjut, harus pula memenuhi sifat-sifat:

1. (Assosiatif terhadap penjumlahan) Untuk setiap vektor u, v, dan w di V,

u + (v + w) = (u + v ) + w

2. (Komutatif  terhadap penjumlahan) Untuk setiap vektor u dan  v di V,

u + v = v + u

3. (Eksistensi  elemen nol) Terdapat vektor 0 di V yang bersifat

0 + u = u + 0 = u

untuk setiap vektor u di V

4. (Eksistensi invers penjumlahan) Untuk setiap vektor u di V, terdapat vektor di V, dinotasikan dengan – u,  yang bersifat:

u + (– u) = (–u) + u = 0

5. (Sifat perkalian dengan skalar) Untuk setiap skalar a dan b dilapangan F dan untuk setiap vektor u dan v di V,

a(u + v) = au + av

(a + b)u = au + bu

(ab)u = a(bu)

1u = u, dengan 1 dilapangan F

Perhatikan bahwa empat sifat pertama pada definisi ruang vektor  dapat diringkas dengan mengatakan bahwa V adalah grup abelian terhadap operasi penjumlahan.

Ruang vektor atas lapangan F disebut Ruang-F. Ruang vektor atas lapangan real disebut ruang vektor real dan ruang vektor atas lapangan kompleks disebut ruang vektor kompleks.

Berikut ini dua contoh ruang vektor.

1)      Misalkan F adalah suatu lapangan. Himpunan FF yaitu himpunan semua fungsi dari F ke F, adalah ruang vektor atas F, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar pada fungsi yang didefinisikan sebagai

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

dan

(af)(x) = a(f(x)).

2)      Himpunan Mm,n(F) yaitu himpunan semua matriks m x n dengan entri-entrinya dilapangan F, adalah ruang vektor atas F, dibawah operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s