Lapangan Hingga Zp

Pada bagian ini akan diuraikan berturut-turut tentang himpunan bilangan bulat modulo p, grup, gelanggang, gelangang komutatif, gelanggang dengan unit, gelanggang pembagi, lapangan, dan lapangan hingga Zp.

Definisi 1. Misalkan a, b  elemen Z dan p elemen Z positif, a dikatakan kongruen modulo p jika p | (b – a), ditulis a = b mod p.

Definisi 2. Misalkan p elemen Z, p > 1. Himpunan bilangan bulat modulo p adalah himpunan sisa pembagian semua bilangan bulat dengan p, dinotasikan dengan Zp.
Zp = {x mod p : x elemen Z} = {0, 1, 2, …, p – 1}.
Pada Zp  didefinisikan operasi:
penjumlahan modulo p, yaitu
a + b = (a + b) mod p, untuk setiap a, b elemen Zp
perkalian modulo p, yaitu
a . b = (a . b) mod p, untuk setiap a, b elamen Zp.

Definisi 3. Sebarang himpunan tak kosong G bersama dengan operasi + dikatakan grup dibawah operasi + dinotasikan dengan (G, +), jika:
(1) untuk setiap a, b eleman G berlaku (a + b) elemen G
(2) untuk setiap a, b, c elemen G berlaku a + ( b + c) = (a + b) + c
(3) terdapat 0 elemen G yang tunggal sedemikian sehingga untuk setiap a elemen G berlaku 0 + a = a + 0 = a, elemen 0 disebut identitas terhadap operasi +
(4) untuk setiap a elemen G terdapat -a elemen G sedemikian sehingga berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0, elemen -a disebut invers dari a terhadap operasi +.
Suatu grup (G, +) dikatakan abelian jika untuk setiap a, b elemen G berlaku
a + b = b + a

Contoh 4. Zp bersama dengan operasi penjumlahan modulo p, dinotasikan dengan (Zp,+)  adalah suatu grup.

Definisi 5. Suatu himpunan tak kosong R bersama dengan dua operasi + dan ., dinotasikan dengan (R, +, .) adalah suatu gelanggang jika:
(1) (R, +) adalah grup abelian
(2) untuk setiap a, b elemen R berlaku (a . b) elemen R
(3) untuk setiap a, b, c elemen R berlaku a . (b . c) = (a . b) . c
(4) untuk setiap a, b, c elemen R berlaku
a . (b + c) = a . b + a . c         (sifat distributif kiri)
(a + b) . c = a . c + b . c         (sifat distributif kanan)

Contoh 6. Zp bersama dengan operasi penjumlahan modulo p dan operasi perkalian modulo p, dinotasikan dengan (Zp,+,.)  adalah suatu gelanggang.

Definisi 7. Suatu gelanggang (R, +, .) dikatakan gelanggang komutatif jika untuk setiap a, b elemen R berlaku  a . b = b . a

Definisi 8. Suatu gelanggang (R, +, .) disebut gelanggang dengan unit  jika terdapat 1 elemen R yang tunggal sedemikian sehingga untuk setiap a elemen R berlaku  a . 1 = 1. a = a.

Definisi 9. Suatu gelangang (R, +, .) dengan unit dikatakan gelanggang pembagi jika untuk setiap a emenn R, a tidak nol terdapat (1/a) elemen R sedemikian sehingga berlaku a .(1/a)  = (1/a) . a = 1.

Definisi 10. Suatu gelanggang komutatif (R, +, .) disebut lapangan jika       (R, + , .) adalah gelanggang pembagi. Jika lapangan (R, +, .) memuat sebanyak berhingga elemen maka R disebut lapangan hingga.

Contoh 11. Zp  bersama dengan operasi penjumlahan modulo p dan operasi perkalian modulo p, dinotasikan dengan (Zp,+,.)  adalah lapangan hingga.

Teorema 12. Gelanggang (Zp,+,.) adalah lapangan berhingga jka dan hanya jika p adalah bilangan prima.

Referensi: Herstein I.N (1990). Abstrac Algebra Third Edition. New Jersey: Prentice Hall.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s