Lapangan hingga dan Ruang Vektor

Misalkan diketahui suatu himpunan tak kosong S. Pada himpunan S diberikan operasi + yang merupakan pemetaan

+ : S x S –> S

Peta dari  (a, b) dinyatakan dengan a + b . Himpunan S bersama dengan operasi padanya dinyatakan dengan (S, +) dinamakan sistem matematika.. Pada himpunan S dapat juga didefinisikan dua operasi, misalnya

+ : S x S –> S  dan o :  S x S –> S

dinyatakan dengan  (S, +, o).

Definisi 1. Msalkan diketahui himpunan tak kosong F bersama dengan dua operasi yang didefinisikan sebagai

+ : S x S –> S  dan o :  S x S –> S

Sistem matematika (F, +, o) disebut lapangan jika memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini.

1.  Terhadap operasi +, sistem matematika  memenuhi hubungan berikut.

a.  untuk setiap a, b di F berlaku a + b = b + a  (sifat komutatif)

b.  untuk setiap a, b, c di F berlaku (a + b) + c = a + (b + c)  (sifat asosiatif)

c.  terdapat  0 di F  yang bersifat a+ 0 = 0 + a = a  untuk setiap a di F

elemen 0 disebut identitas terhadap operasi +

d.  untuk setiap  a di F terdapat – a di F yang bersifat a + (-a) = (-a) + a = 0

elemen – a  disebut invers terhadap operasi +.

2.  Terhadap operasi o, sistem matematika  memenuhi hubungan berikut.

a.  untuk setiap a, b di F berlku a o b = b o a  (sifat komutatif)

b.  untuk setiap a, b, c di F berlaku (a o b) o c = a o ( b o c)  (sifat asosiatif)

c.  terdapat  1 di F  dengan  yang bersifat a o 1 = 1 o a = a  untuk setiap a di F

elemen 1 disebut identitas terhadap operasi o.

d.  untuk setiap a di F  terdapat 1/a di F yang bersifat a o (1/a) = (1/a) o a = 1.

elemen 1/a  disebut invers terhadap operasi o.

3.  Untuk setiap  berlaku a, b, c di F

a.  a + (b  o c) = a o b + a o c (sifat distributif kiri) dan

b. (a + b) o c = a o c = b  o c  (sifat distributif kanan)

Definisi 2. Misalkan F adalah lapangan, yang elemen-elemennya dinyatakan sebagai  skalar. Ruang vektor atas F adalah himpunan tak kosong V, yang elemen-elemennya merupakan vektor, bersama dengan dua operasi. Operasi pertama disebut penjumlahan dan dinotasikan dengan +, yang dimaksud dengan setiap pasangan (u, v) di V adalah vektor  u + v di V. Operasi kedua disebut perkalian dengan skalar dan dinotasikan dengan  penjajaran, yang dimaksud dengan setiap pasangan (r, u) di F x V adalah vektor ru di V. Lebih lanjut, harus pula memenuhi sifat-sifat:

1. (Assosiatif terhadap penjumlahan) Untuk setiap vektor u, v, dan w di V,

u + (v + w) = (u + v ) + w

2. (Komutatif  terhadap penjumlahan) Untuk setiap vektor u dan  v di V,

u + v = v + u

3. (Eksistensi  elemen nol) Terdapat vektor 0 di V yang bersifat

0 + u = u + 0 = u  untuk setiap vektor u di V

4. (Eksistensi invers penjumlahan) Untuk setiap vektor u di V, terdapat vektor di V, dinotasikan dengan – u,

yang   bersifat u + (– u) = (–u) + u = 0

5. (Sifat perkalian dengan skalar) Untuk setiap skalar a dan b dilapangan F dan untuk setiap vektor u dan v di V,

a(u + v) = au + av

(a + b)u = au + bu

(ab)u = a(bu)

1u = u, dengan 1 dilapangan F

Refensi:

Arifin A., (2001). Aljabar Linier Edisi Kedua. Bandung: Penerbit ITB.

Hungerford, T. W. (2003). Graduate Text in Mathematics: Algebra. Springer.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s