Distribusi Binomial

Dalam Kurikulum 2013 matematika terbagi menjadi dua, yaitu matematika wajib dan matematika peminatan. Dibawah ini adalah kompetensi – kompetensi dasar (KD) materi Probabilitas

A. KD Matematika Peminatan XI IPA:
3.8
Mendeskripsikan konsep variabel acak, dan menganalisis untuk merumuskan fungsi distribusi binomial melalui percobaan acak.
4.6
Menyajikan dan menggunakan rumus fungsi distribusi binomial dalam menaksir suatu kejadian yang akan muncul berkaitan dengan percobaan acak.
B. KD Matematika Wajib XI IPA:
3.15
Mendeskripsikan konsep ruang sampel dan menentukan peluang suatu kejadian dalam suatu percobaan.
3.16
Mendeskripsikan dan menerapkan aturan/rumus peluang dalam memprediksi terjadinya suatu kejadian dunia nyata serta menjelaskan alasan- alasannya.
3.17
Mendeskripsikan konsep peluang dan harapan suatu kejadian dan menggunakannya dalam pemecahan masalah.
4.12
Mengidentifikasi, menyajikan model matematika dan menentukan peluang dan harapan suatu kejadian dari masalah kontektual.

Berikut ini sekilas pandang mengenai Distribusi Binomial.

Sukses atau gagal adalah dua hal yang dapat terjadi pada suatu percobaan. Dikatakan sukses jika kejadian yang diharapkan muncul, sementara dikatakan gagal jika kejadian yang diharapkan tidak muncul. Sukses dan gagal saling mutually exclusive.

Jika pada suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali, variabel acak X adalah kejadian yang diharapkan, peluang sukses dinotasikan p, dan peluang gagal dinotasikan q, maka dikatakan bahwa X berdistribusi binomial berparamater n dan p, dinotasikan X ∼ B(n,p).

Probabilitas variabel acak X adalah P(X = x) = nCx (p^x)(q^(n-x)), dimana q = 1 – p dan x = 0, 1, 2, …, n.

Di bawah ini adalah satu permasalahan probabilitas yang dapat disampaikan baik dalam pembelajaran matematika peminatan maupun matematika wajib.

Permasalahan:
Pada suatu percobaan melempar undi sebuah dadu sebanyak satu kali. Kejadian yang diharapkan adalah muncul mata dadu 6. Percobaan diulang sebanyak dua kali.
Tentukanlah:
1. probabilitas/peluang kejadian muncul mata dadu bukan 6 (tidak pernah muncul mata dadu 6);
2. probabilitas/peluang kejadian muncul mata dadu 6 sebanyak satu kali;
3. probabilitas/peluang kejadian muncul mata dadu 6 sebanyak dua kali; dan
4. ekspektasi/harapan kejadian muncul mata dadu 6

Penyelesaian:

CARA A (Matematika Peminatan)
Misalkan variabel acak X adalah kejadian muncul mata dadu 6, x = 0, 1, 2.
Banyak percobaan = n = 2
Peluang kejadian muncul mata dadu 6, dengan kata lain peluang sukses = p = 1/6
Peluang kejadian muncul mata dadu bukan 6, dengan kata lain peluang gagal = q = 1 – p = 5/6
Variabel acak X memiliki distribusi binomial berparamater 2 dan 1/6, dinotasikan X ∼ B(2, 1/6).
Probabilitas variabel acak X adalah P(X = x) = 2Cx (p^x)(q^(2-x)),  x = 0, 1, 2.
1. Kejadian muncul mata dadu bukan 6, berarti X = 0
P(X = 0) = 2C0 (1/6)º (5/6)² = 25/6
2. Kejadian muncul mata dadu 6 sebanyak satu kali, berarti X = 1
P(X = 1) = 2C1 (1/6) (5/6) = 10/36
3. Kejadian muncul mata dadu 6 sebanyak dua kali, berarti X = 2
P(X = 2) = 2C2 (1/6)² (5/6)º = 1/36

Berikut ini adalah tabel distribusi probabilitas X
xi |     pi    |   xipi
0  | 25/36 |   0
1  | 10/36 |  10/36
2  |  1/36  |  2/36

4. Ekspektasi kejadian muncul mata dadu 6 adalah
E(X) = ∑xipi = 0(25/36) + 1(10/36) + 2(1/36) = 12/36 = 1/3

CARA A (Matematika Wajib):
Ruang sampel percobaan melempar undi sebuah dadu sebanyak satu kali adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6
Kejadian muncul mata dadu 6, K = {6}, n(K) = 1
Peluang kejadian muncul mata dadu 6, P(K) = n(K)/n(S) = 1/6
Kejadian muncul mata dadu bukan 6, Kc = {1, 2, 3, 4, 5} = n(Kc) = 5
Peluang kejadian muncul mata dadu bukan 6, P(Kc) = n(Kc)/n(S) = 5/6
1. Kejadian muncul mata dadu bukan 6, berarti kejadian pada percobaan 1 muncul mata dadu bukan 6 dan kejadian pada percobaan 2 muncul mata dadu bukan 6.
Peluang kejadian muncul mata dadu bukan 6 = (5/6) (5/6) = 25/36
2. Kejadian muncul mata dadu 6 sebanyak satu kali, berarti:
kasus 1: kejadian pada percobaan 1 muncul mata dadu 6, sementara kejadian pada percobaan 2 muncul mata dadu bukan 6. Peluang Kasus 1 = (1/6)(5/6) = 5/36
kasus 2: kejadian pada percobaan 1 muncul mata dadu bukan 6, sementara kejadian pada percobaan 2 muncul mata dadu 6. Peluang Kasus 2 = (5/6)(1/6) = 5/36
Peluang kejadian muncul mata dadu 6 sebanyak satu kali = Peluang Kasus 1 + Peluang Kasus 2 = 5/36 + 5/36 = 10/36
3. Kejadian muncul mata dadu 6 sebanyak dua kali, berarti kejadian pada percobaan 1 muncul mata dadu 6 dan kejadian pada percobaan 2 muncul mata dadu 6.
Peluang kejadian muncul mata dadu 6 sebanyak dua kali = (1/6) (1/6) = 1/36
4. Harapan kejadian muncul mata dadu 6 = banyak percobaan dikalikan dengan peluang kejadian muncul mata dadu 6 = 2 (1/6) = 1/3.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s